Sfera

Parametr pozwala przekazać funkcji wybraną wartość. Tutaj r oznacza promień: odległość od środka do dowolnego punktu sfery.

Jeśli nie podasz r, funkcja użyje wartości 5. To wartość domyślna. Wywołanie ms3d.sfera() daje więc taki sam promień jak ms3d.sfera(r=5).

Promień musi być liczbą większą od zera. Nieskończoność nie jest dozwolona.

$$r>0$$

W pierwszym przykładzie wybraliśmy promień r=3.

Środek tej sfery leży w punkcie o współrzędnych zero, zero, zero. Jej punkty spełniają równanie:

$$x^2+y^2+z^2=r^2$$

Funkcja ms3d.sfera() opisuje sferę za pomocą jej środka i promienia.

Każdy punkt sfery znajduje się w tej samej odległości od środka. Ta odległość jest równa promieniowi.

$$F(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}-r$$

Na powierzchni odległość wynosi dokładnie $r$, więc:

$$F(x,y,z)=0$$

Sprawdź w myślach punkt (3, 0, 0) dla promienia 3. A punkt (0, 0, 0)?

Dziedzina mówi, jakie wartości możesz podać funkcji. Dla ustalonego dodatniego promienia funkcja F(x, y, z) przyjmuje dowolną trójkę liczb rzeczywistych:

$$D_F={\mathbb{R}}^3$$

Dziedzina funkcji nie jest tym samym co powierzchnia. Do sfery należą tylko punkty, w których F ma wartość zero.

Dziedzina nie jest też obszarem podglądu. Program oblicza wartości funkcji tylko w wybranych punktach. Leżą one w sześcianie:

$${[-6,6]}^3$$

Większa sfera może wyjść poza ten obszar. Matematycznie nadal istnieje, lecz obraz może pokazać tylko jej fragment. Więcej w rozdziale o ograniczeniach 3D.

Odległość punktu od początku układu oblicza math.hypot(x, y, z). Po odjęciu promienia otrzymujemy funkcję, której zera wyznaczają sferę:

import math

def F(x, y, z):
    return math.hypot(x, y, z) - 3

rysuj_3(F)

math.hypot oblicza odległość punktu od początku układu. Funkcja rysuj_3 szuka powierzchni, na której wynik F wynosi zero.

Krótki wzór można zapisać bez nadawania funkcji osobnej nazwy:

import math

rysuj_3(lambda x, y, z: math.hypot(x, y, z) - 3)

To ten sam wzór co w poprzednim programie. lambda pomaga przy krótkich doświadczeniach. Gdy obliczenie ma kilka kroków albo chcesz je opisać komentarzami, zwykłe def będzie czytelniejsze.

1. Narysuj kolejno sfery o promieniach 1, 2 i 4. Przed uruchomieniem przewidź zmianę obrazu.
2. Sprawdź punkt (0, 3, 0) w swojej funkcji. Jaką wartość otrzymasz?
3. Zastąp odległość równaniem z kwadratami. Czy rozpoznajesz tę samą powierzchnię?

def F(x, y, z):
    return x*x + y*y + z*z - 9

rysuj_3(F)

Obie funkcje mają wartość zero w tych samych punktach. Dla promienia 3 punkty te tworzą sferę.

Program tworzy obraz z wybranych punktów. Dlatego obrazy uzyskane z tych dwóch zapisów mogą się nieznacznie różnić. Dlaczego tak się dzieje?

Spróbuj też promienia zero. Najpierw przewidź, czy funkcja przyjmie tę wartość. Potem sprawdź komunikat w konsoli, czyli miejscu na wyniki programu.