Baza wiedzy

Python

• Pierwszy program w IDE

  Program to lista poleceń. Python wykonuje je po kolei. Zacznij od wyświetlenia krótkiej wiadomości.

  Czytaj opis

Matematyka 2D

Funkcje (14)

• Cosinusoida

  Wykres ma postać powtarzającej się fali. Amplituda, czyli największe wychylenie od linii środkowej, wynosi |A|. Zwiększając |omega|, zmniejszasz odległość między kolejnymi szczytami.

  ms2d.cosinusoida(A=1, omega=1, faza=0, d=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=A\cos \left(\omega x+\phi \right)+d$$

  Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, a kąty są w radianach. Linia środkowa to Y = d, faza zmienia przesunięcie poziome, a dla A i omega różnych od zera okres wynosi 2π/|omega|. Przy zerowym A lub omega wynik jest stały.

  Czytaj opis

• Cotangens

  Przy domyślnych parametrach wykres ma powtarzające się, opadające gałęzie. Przerwy występują tam, gdzie sinus kąta jest równy zero. Zmieniając fazę, porównaj położenie gałęzi.

  ms2d.cotangens(A=1, omega=1, faza=0, d=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\mathrm{ctg}\left(\alpha \right)=\frac{\cos \left(\alpha \right)}{\sin \left(\alpha \right)}$$$$\alpha =\omega x+\phi ,y=A\mathrm{ctg}\left(\alpha \right)+d$$$$x=\frac{j\pi -\phi }{\omega }$$

  We wzorze ω oznacza omega, φ oznacza faza, a α jest kątem w radianach; wymagane jest sin(α) ≠ 0. Dla niezerowych A i omega proste wyznaczone przez α = jπ są pionowymi asymptotami: gałęzie zbliżają się do nich, lecz ich nie przecinają; j jest całkowite. Okres wynosi π/|omega|, a d przesuwa wykres pionowo. Przy dodatnim A·omega tangens rośnie, a cotangens maleje; ujemny iloczyn odwraca kierunek. Dla A = 0 wartości są stałe, ale wykluczenia pozostają. Dla omega = 0 otrzymujemy stałą tylko dla dozwolonego kąta.

  Czytaj opis

• Funkcja liniowa

  Wykresem jest prosta. Parametr a określa nachylenie, a b punkt przecięcia z osią Y. Gdy a = 0, otrzymujemy prostą poziomą.

  ms2d.prosta(a=1, b=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=ax+b$$

  Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Dla a dodatniego funkcja rośnie, a dla ujemnego maleje; jej miejsce zerowe przy a różnym od zera wynosi -b/a.

  Czytaj opis

• Funkcja logarytmiczna

  Wykres jest określony tylko na prawo od X = h. Przy niezerowym a zbliża się do tej pionowej prostej bez jej przecinania. Zmiana podstawy b wpływa na tempo i kierunek zmian wartości.

  ms2d.logarytmiczna(a=1, b=2, h=0, k=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=a{\log }_b\left(x-h\right)+k$$

  Warunki to b > 0, b różne od 1 oraz x > h. Dla a różnego od zera prosta X = h jest asymptotą pionową. Dla a = 0 wartości są stałe, ale ograniczenie dziedziny pozostaje.

  Czytaj opis

• Funkcja pierwiastkowa

  Wykres zaczyna się w punkcie (h, k) i biegnie w prawo. Dla dodatniego a rośnie coraz wolniej, a dla ujemnego opada. Zmieniaj h i k, aby przesuwać początek krzywej.

  ms2d.pierwiastkowa(a=1, h=0, k=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=a\sqrt{x-h}+k$$

  Dziedzina obejmuje x co najmniej równe h, bo pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej. Parametr a skaluje wartości; dla a = 0 wykres jest poziomy, nadal tylko dla x ≥ h.

  Czytaj opis

• Funkcja sinc

  Wykres jest symetryczny względem osi Y i ma w środku wartość 1. Kolejne oscylacje, czyli powtarzające się wychylenia, stają się coraz mniejsze. Porównaj wartości w równych odległościach po obu stronach zera.

  ms2d.sinc()
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=\{\begin{array}{cc}\frac{\sin \left(x\right)}{x}& \text{x ≠ 0}\\ 1& \text{x = 0}\end{array}$$

  Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste: w zerze przyjęto wartość graniczną 1. Pozostałe miejsca zerowe to niezerowe całkowite wielokrotności π. Funkcja nie ma parametrów.

  Czytaj opis

• Funkcja stała

  Wykresem jest pozioma prosta, ponieważ wynik nie zależy od X. Parametr c określa jej wysokość. Porównaj wykresy dla dodatniego i ujemnego c.

  ms2d.stala(c=2)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=c$$

  Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Dla c = 0 cała oś X jest wykresem, a dla c różnego od zera funkcja nie ma miejsc zerowych.

  Czytaj opis

• Funkcja sześcienna

  Wykres funkcji trzeciego stopnia może mieć lokalne minimum i maksimum, ale nie musi. Na obu krańcach zmierza w przeciwne strony. Zmieniaj współczynniki, aby porównać liczbę miejsc zerowych i punktów zwrotnych.

  ms2d.szescienna(a=0.1, b=0, c=-1, d=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$$

  Wymagane jest a różne od zera, a dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Funkcja ma co najmniej jedno rzeczywiste miejsce zerowe. Znak a określa kierunki przebiegu dla dużych dodatnich i ujemnych X.

  Czytaj opis

• Funkcja wykładnicza

  Przy dodatnim a i podstawie b większej od 1 wartości rosną coraz szybciej. Dla podstawy między 0 i 1 wartości maleją. Porównaj te przypadki, zachowując pozostałe parametry.

  ms2d.wykladnicza(a=1, b=2, h=0, k=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=a{b}^{x-h}+k$$

  Podstawa b musi być dodatnia i różna od 1, a dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Parametry h i k przesuwają wykres. Dla a różnego od zera prosta Y = k jest asymptotą poziomą; dla a = 0 funkcja jest stała.

  Czytaj opis

• Funkcja wymierna

  Dla niezerowego a wykres składa się z dwóch oddzielnych gałęzi. Zbliżają się one do prostych X = h i Y = k, nazywanych asymptotami. Zmieniaj h i k, aby obserwować przesuwanie obu gałęzi.

  ms2d.odwrotna(a=1, h=0, k=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=\frac{a}{x-h}+k$$

  Dziedzina wyklucza x = h. Prosta X = h jest asymptotą pionową, a Y = k poziomą, o ile a jest niezerowe. Dla a = 0 wynik wynosi k, lecz punkt x = h nadal jest wykluczony.

  Czytaj opis

• Parabola

  Parabola jest wykresem funkcji kwadratowej. Ma wierzchołek i dwa ramiona. Zmiana współczynników pozwala zmieniać jej położenie, rozwarcie ramion i kierunek ich zwrócenia.

  ms2d.parabola(a=1, b=0, c=-4)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=a{x}^2+bx+c$$$$a\ne 0$$

  Parametr a musi być niezerowy; jego znak wyznacza kierunek ramion, a wartość bezwzględna wpływa na rozwarcie. Parametr b wraz z a określa oś symetrii, natomiast c jest wartością Y przy X = 0 i przesuwa wykres w pionie. Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste; biblioteka odrzuca a = 0.

  Czytaj opis

• Sinusoida

  Wykres ma postać powtarzającej się fali. Amplituda, czyli największe wychylenie od linii środkowej, wynosi |A|. Zwiększając |omega|, zmniejszasz odległość między kolejnymi szczytami.

  ms2d.sinusoida(A=1, omega=1, faza=0, d=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=A\sin \left(\omega x+\phi \right)+d$$

  Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, a kąty są w radianach. Linia środkowa to Y = d, faza zmienia przesunięcie poziome, a dla A i omega różnych od zera okres wynosi 2π/|omega|. Przy zerowym A lub omega wynik jest stały.

  Czytaj opis

• Tangens

  Przy domyślnych parametrach wykres ma powtarzające się, rosnące gałęzie. Przerwy występują tam, gdzie cosinus kąta jest równy zero. Zmieniając omega, porównaj odstępy między gałęziami.

  ms2d.tangens(A=1, omega=1, faza=0, d=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\mathrm{tg}\left(\alpha \right)=\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}$$$$\alpha =\omega x+\phi ,y=A\mathrm{tg}\left(\alpha \right)+d$$$$x=\frac{\frac{\pi }{2}+j\pi -\phi }{\omega }$$

  We wzorze ω oznacza omega, φ oznacza faza, a α jest kątem w radianach; wymagane jest cos(α) ≠ 0. Dla niezerowych A i omega proste wyznaczone przez α = π/2 + jπ są pionowymi asymptotami: gałęzie zbliżają się do nich, lecz ich nie przecinają; j jest całkowite. Okres wynosi π/|omega|, a d przesuwa wykres pionowo. Przy dodatnim A·omega tangens rośnie, a cotangens maleje; ujemny iloczyn odwraca kierunek. Dla A = 0 wartości są stałe, ale wykluczenia pozostają. Dla omega = 0 otrzymujemy stałą tylko dla dozwolonego kąta.

  Czytaj opis

• Wartość bezwzględna

  Dla niezerowego a wykres ma dwa proste ramiona i załamanie w punkcie (h, k). Dodatnie a daje kształt litery V, a ujemne go odwraca. Zmieniaj h i k, aby przesuwać punkt załamania.

  ms2d.wartosc_bezwzgledna(a=1, h=0, k=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$y=a\left|x-h\right|+k$$

  Dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Wartość |a| określa stromość ramion, a dla a = 0 funkcja jest stała i załamanie znika.

  Czytaj opis

Krzywe (12)

• Elipsa

  Elipsa ma dwie prostopadłe osie symetrii. Długości a i b wyznaczają jej rozciągnięcie w dwóch kierunkach. Gdy a = b, otrzymujemy okrąg.

  ms2d.elipsa(a=5, b=3, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left(\frac{x-x_0}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y-y_0}{b}\right)}^2=1$$

  Dodatnie a i b są półosiami wzdłuż X i Y, a środek to (x0, y0). Funkcja pomocnicza F jest określona dla każdej pary liczb rzeczywistych; poniżej podano równanie krzywej.

  Czytaj opis

• Hiperbola

  Hiperbola ma dwie oddzielne gałęzie i dwie osie symetrii. W tej bibliotece gałęzie są skierowane w lewo i w prawo. Zmieniaj a i b, aby porównać ich rozwarcie.

  ms2d.hiperbola(a=3, b=2, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left(\frac{x-x_0}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y-y_0}{b}\right)}^2=1$$

  Parametry a i b są dodatnie, a środek to (x0, y0). Poziome wierzchołki leżą w odległości a od środka. Asymptoty przechodzą przez środek i mają nachylenia ±b/a; F jest określona na całej płaszczyźnie.

  Czytaj opis

• Kardioida

  Kardioida ma jedno ostrze i jedną oś symetrii. W tej bibliotece wybrzuszenie jest skierowane w prawo. Zmieniaj a oraz położenie ostrza, aby skalować i przesuwać krzywą.

  ms2d.kardioida(a=2, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$r=a\left(1+\cos \left(\theta \right)\right)$$

  Wzór biegunowy korzysta z odległości r od ostrza i kąta θ względem dodatniego kierunku X. Wymagane jest a > 0, a ostrze leży w (x0, y0). Równanie opisuje ten sam poziom zero co funkcja biblioteki.

  Czytaj opis

• Kwadrat

  Rysowany jest obwód kwadratu, bez wypełnienia. Wszystkie boki są równe i równoległe do osi. Zmieniaj bok i położenie środka, aby skalować oraz przesuwać figurę.

  ms2d.kwadrat(bok=6, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\max \left(\left|X\right|,\left|Y\right|\right)=\frac{b}{2}$$

  Dodatni bok oznaczono we wzorze jako b. Środek to (x0, y0), a X i Y oznaczają współrzędne pomniejszone o współrzędne środka. Równanie poziomu zero odpowiada obwodowi.

  Czytaj opis

• Lemniskata Bernoulliego

  Krzywa ma dwa płatki stykające się w środku i przypomina ósemkę. Jest symetryczna względem obu osi przechodzących przez środek. Zmieniaj skalę i położenie; obraz styku gałęzi może być niedokładny.

  ms2d.lemniskata(a=4, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left(X^2+Y^2\right)}^2=a^2\left(X^2-Y^2\right)$$

  Parametr a jest dodatni, a X = x-x0 i Y = y-y0. Płatki są skierowane wzdłuż X, a ich skrajne punkty są oddalone od środka o a. Równanie jest poprawne także wtedy, gdy siatka nie odtworzy przecięcia gałęzi.

  Czytaj opis

• Okrąg

  Okrąg składa się z punktów jednakowo odległych od środka. Nie zawiera wnętrza koła. Zmieniaj promień r i środek (x0, y0), aby porównywać rozmiar oraz położenie.

  ms2d.okrag(r=4, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=r^2$$

  Promień r musi być dodatni. Współrzędne środka są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a F jest określona na całej płaszczyźnie. Równanie poniżej opisuje jej poziom zero.

  Czytaj opis

• Parabola pozioma

  Ta parabola jest otwarta w prawo i symetryczna względem poziomej prostej przechodzącej przez wierzchołek. Parametr p wpływa na jej rozwarcie. Zmieniaj (x0, y0), aby przesuwać wierzchołek.

  ms2d.parabola_pozioma(p=1, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left(y-y_0\right)}^2=4p\left(x-x_0\right)$$

  Wymagane jest p > 0. Wierzchołek to (x0, y0), a ognisko jest przesunięte od niego o p w prawo. Funkcja F jest określona na całej płaszczyźnie.

  Czytaj opis

• Prosta pionowa

  Każdy punkt tej prostej ma tę samą współrzędną X. Nie jest to wykres pojedynczej wartości Y dla każdego X. Zmieniaj c, aby przesuwać prostą poziomo.

  ms2d.prosta_pionowa(c=2)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$x=c$$

  Równanie określa prostą pionową, a parametr c jej położenie. Funkcja pomocnicza F jest określona dla każdej pary liczb rzeczywistych; jej poziom zero spełnia poniższe równanie.

  Czytaj opis

• Prostokąt

  Rysowany jest obwód prostokąta o niezależnej szerokości i wysokości. Przeciwległe boki są równe i równoległe. Porównaj prostokąt wydłużony poziomo z wydłużonym pionowo.

  ms2d.prostokat(szerokosc=8, wysokosc=4, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\max \left(\left|X\right|-\frac{w}{2},\left|Y\right|-\frac{h}{2}\right)=0$$

  Szerokość w i wysokość h są dodatnie, a środek to (x0, y0). We wzorze X = x-x0 i Y = y-y0. Poziom zero obejmuje cztery boki, bez wnętrza.

  Czytaj opis

• Romb

  Romb ma cztery równe boki, a jego przekątne są prostopadłe. Tutaj przekątne leżą wzdłuż osi X i Y. Zmieniaj ich długości, aby porównywać kąty i proporcje.

  ms2d.romb(przekatna_x=8, przekatna_y=6, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\frac{2\left|X\right|}{p}+\frac{2\left|Y\right|}{q}=1$$

  Dodatnie przekatna_x i przekatna_y oznaczono jako p i q; są to pełne długości przekątnych. We wzorze X = x-x0 i Y = y-y0. Przy równych przekątnych otrzymujemy kwadrat obrócony względem osi.

  Czytaj opis

• Superelipsa

  Krzywa może przypominać elipsę, romb albo zaokrąglony prostokąt. O kształcie decyduje wykładnik n, a nie tylko rozmiary. Porównaj n równe 1, 2 i 4.

  ms2d.superelipsa(a=4, b=3, n=3, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left|\frac{x-x_0}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y-y_0}{b}\right|}^n=1$$

  Wymagane jest a, b, n > 0, a środek to (x0, y0). Dla n = 2 otrzymujemy elipsę, dla n = 1 romb, a dla n < 1 krzywą wklęsłą. F jest określona na całej płaszczyźnie.

  Czytaj opis

• Trójkąt równoboczny

  Trójkąt ma trzy równe boki i trzy kąty po 60°. Rysowany jest jego obwód, z jednym wierzchołkiem skierowanym w górę. Zmieniaj bok oraz środek ciężkości, aby porównywać rozmiar i położenie.

  ms2d.trojkat_rownoboczny(bok=6, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$t=\frac{\sqrt{3}b}{2}$$$$\max \left(-Y-\frac{t}{3},\frac{\sqrt{3}X+Y-\frac{2t}{3}}{2},\frac{-\sqrt{3}X+Y-\frac{2t}{3}}{2}\right)=0$$

  Dodatni bok oznaczono jako b, a wysokość trójkąta jako t = √3·b/2. We wzorze X = x-x0 i Y = y-y0; (x0, y0) jest środkiem ciężkości, nie środkiem prostokąta otaczającego trójkąt.

  Czytaj opis

Matematyka 3D

Powierzchnie (20)

• Elipsoida

  Elipsoida jest powierzchnią o trzech osiach symetrii. Długości półosi a, b i c określają rozciągnięcie w przestrzeni. Gdy wszystkie trzy są równe, otrzymujemy sferę.

  ms3d.elipsoida(a=5, b=3, c=2)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2+{\left(\frac{z}{c}\right)}^2=1$$

  Półosie są dodatnie i leżą wzdłuż X, Y oraz Z, a środek jest w początku układu. Równanie opisuje powierzchnię, bez wnętrza; pomocnicza F jest określona dla dowolnych współrzędnych.

  Czytaj opis

• Fale koncentryczne

  Wzniesienia i zagłębienia tworzą okręgi wokół środka. Ich wysokość nie maleje z odległością, bo amplituda jest stała. Zmieniaj częstotliwość, aby porównać odstępy między pierścieniami.

  ms3d.fale_koncentryczne(amplituda=1.5, czestotliwosc=1.2)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$z=A\cos \left(k\sqrt{x^2+y^2}\right)$$

  Dodatnie A = amplituda i k = czestotliwosc określają wychylenie i zmianę kąta na jednostkę odległości. Promieniowy okres wynosi 2π/k, a w środku wysokość wynosi A. Wysokość jest określona na całej płaszczyźnie.

  Czytaj opis

• Fale sinusoidalne

  Powierzchnia faluje w dwóch prostopadłych kierunkach. Wysokość zmienia się między wartościami przeciwnych znaków, a wzór regularnie się powtarza. Porównaj wpływ amplitudy i częstotliwości.

  ms3d.fale_sinusoidalne(amplituda=1.5, czestotliwosc=1)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$z=A\sin \left(kx\right)\cos \left(ky\right)$$

  Dodatnie A = amplituda i k = czestotliwosc dają okres 2π/k wzdłuż obu osi. Wychylenie od Z = 0 sięga A. Dziedziną wysokości jest cała płaszczyzna; dla X = 0 cała linia ma wysokość zero.

  Czytaj opis

• Graniastosłup trójkątny

  Powierzchnia ma dwie równoboczne podstawy i trzy prostokątne ściany boczne. Przekroje równoległe do podstaw są takimi samymi trójkątami. Zmieniaj bok podstawy i wysokość, aby porównywać proporcje.

  ms3d.graniastoslup_trojkatny(bok=5, wysokosc=6)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\max \left(-y-\frac{t}{3},\frac{\sqrt{3}x+y-\frac{2t}{3}}{2},\frac{-\sqrt{3}x+y-\frac{2t}{3}}{2},\left|z\right|-\frac{h}{2}\right)=0$$

  Wymagane są b = bok > 0 i h = wysokosc > 0; t = √3·b/2 to wysokość trójkąta podstawy. Oś graniastosłupa to Z, a podstawy leżą na Z = ±h/2. Nierówności tworzące maksimum opisują trzy boki i obie podstawy.

  Czytaj opis

• Hiperboloida dwupowłokowa

  Powierzchnia składa się z dwóch rozdzielonych części po przeciwnych stronach środka. Między nimi pozostaje przerwa. Zmieniaj c, aby porównać odległość między najbliższymi punktami obu części.

  ms3d.hiperboloida_dwupowlokowa(a=2, b=2, c=2)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left(\frac{z}{c}\right)}^2-{\left(\frac{x}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$$

  Parametry a, b, c są dodatnie, a powłoki istnieją tylko dla |Z| ≥ c. Ich wierzchołki to (0, 0, c) i (0, 0, -c), więc dzieli je odległość 2c. Parametry a i b wpływają na rozwarcie.

  Czytaj opis

• Hiperboloida jednopowłokowa

  Jest to jedna połączona powierzchnia z przewężeniem w środku. Jej poziome przekroje są elipsami, które poszerzają się po obu stronach przewężenia. Zmieniaj półosie, aby porównywać proporcje.

  ms3d.hiperboloida_jednopowlokowa(a=2, b=2, c=3)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2-{\left(\frac{z}{c}\right)}^2=1$$

  Parametry a, b, c są dodatnie, a oś to Z. Najmniejszy poziomy przekrój leży na Z = 0 i ma półosie a oraz b. Powierzchnia nie jest zamkniętą granicą skończonej bryły.

  Czytaj opis

• Ostrosłup czworokątny

  Powierzchnia ostrosłupa ma kwadratową podstawę i cztery trójkątne ściany boczne. Wierzchołek leży nad środkiem podstawy. Zmieniaj bok podstawy i wysokość, aby porównać nachylenie ścian.

  ms3d.ostroslup(bok=6, wysokosc=6)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$u=\frac{b}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{z}{h}\right)$$$$\max \left(\left|x\right|-u,\left|y\right|-u,\left|z\right|-\frac{h}{2}\right)=0$$

  Jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny; b = bok > 0 i h = wysokosc > 0. Podstawa leży na Z = -h/2, a wierzchołek na Z = h/2. Wielkość u oznacza połowę boku poziomego przekroju.

  Czytaj opis

• Paraboloida eliptyczna

  Powierzchnia ma jeden najniższy punkt i rozszerza się ku górze. Jej poziome przekroje powyżej tego punktu są elipsami. Zmieniaj a i b, aby porównać rozszerzanie w kierunkach X i Y.

  ms3d.paraboloida_eliptyczna(a=3, b=3)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$z={\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2$$

  Wymagane jest a, b > 0. Wysokość jest określona dla dowolnych x i y, a minimum leży w (0, 0, 0). Dla a = b poziome przekroje są okręgami.

  Czytaj opis

• Paraboloida hiperboliczna

  Powierzchnia wygina się w górę w jednym kierunku i w dół w drugim. Punkt środkowy nie jest ani minimum, ani maksimum. Zmieniaj a i b, aby porównać oba wygięcia.

  ms3d.paraboloida_hiperboliczna(a=3, b=3)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$z={\left(\frac{x}{a}\right)}^2-{\left(\frac{y}{b}\right)}^2$$

  Wymagane jest a, b > 0, a wysokość istnieje dla dowolnych x i y. Przekroje X = 0 i Y = 0 są parabolami skierowanymi przeciwnie. W początku układu leży punkt siodłowy.

  Czytaj opis

• Płaszczyzna

  Płaszczyzna jest płaską, nieograniczoną powierzchnią. Jej równanie może opisywać położenie poziome, pionowe lub ukośne. Zmieniaj współczynniki i porównuj orientację widocznego fragmentu.

  ms3d.plaszczyzna(a=1, b=1, c=1, d=-2)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$ax+by+cz+d=0$$

  Współczynniki a, b i c nie mogą być jednocześnie zerowe. Wektor (a, b, c) jest prostopadły do płaszczyzny, a d wpływa na jej położenie. Dziedziną F są wszystkie rzeczywiste trójki.

  Czytaj opis

• Powierzchnia Gaussa

  Powierzchnia ma jeden szczyt i łagodnie opada we wszystkich kierunkach. Jej wysokość zbliża się do zera wraz z odległością od szczytu. Zmieniaj szerokość, aby porównać wąskie i rozległe wzniesienie.

  ms3d.powierzchnia_gaussa(wysokosc=4, szerokosc=2, x0=0, y0=0)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$z=h{e}^{-\frac{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2}{2s^2}}$$

  Dodatnie h = wysokosc i s = szerokosc określają wysokość oraz skalę poziomą. Szczyt to (x0, y0, h), a dziedziną wysokości jest cała płaszczyzna. To powierzchnia Gaussa bez normalizacji do pola lub objętości 1.

  Czytaj opis

• Powierzchnia sinc

  Powierzchnia ma centralne wzniesienie i pierścieniowe oscylacje. W przeciwieństwie do fal koncentrycznych ich wychylenia maleją z odległością. Zmieniaj częstotliwość, aby porównać zagęszczenie pierścieni.

  ms3d.powierzchnia_sinc(amplituda=3, czestotliwosc=1.5)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$$$$z=\{\begin{array}{cc}\frac{A\sin \left(k\rho \right)}{k\rho }& \text{ρ > 0}\\ A& \text{ρ = 0}\end{array}$$

  Dodatnie A = amplituda i k = czestotliwosc określają skalę; ρ jest odległością od początku układu w płaszczyźnie XY. W środku przyjęto graniczną wysokość A, więc dziedziną jest cała płaszczyzna.

  Czytaj opis

• Prostopadłościan

  Powierzchnia prostopadłościanu składa się z sześciu prostokątnych ścian. Przeciwległe ściany są równoległe i przystające. Zmieniaj trzy wymiary, aby porównać bryłę wydłużoną i zbliżoną do sześcianu.

  ms3d.prostopadloscian(szerokosc=6, glebokosc=4, wysokosc=3)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\max \left(\left|x\right|-\frac{w}{2},\left|y\right|-\frac{d}{2},\left|z\right|-\frac{h}{2}\right)=0$$

  Pełne dodatnie wymiary w, d i h odpowiadają szerokości, głębokości i wysokości wzdłuż X, Y, Z. Środek leży w początku układu. Poziom zero obejmuje ściany, ale nie wnętrze.

  Czytaj opis

• Sfera

  Sfera jest powierzchnią złożoną z punktów jednakowo odległych od środka. Nie obejmuje wnętrza kuli. Zmieniaj promień, aby porównywać jej rozmiar.

  ms3d.sfera(r=5)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\sqrt{x^2+y^2+z^2}-r=0$$

  Dodatni r jest promieniem, a środek leży w początku układu. Równanie określa poziom zero funkcji F, której dziedziną są wszystkie trójki liczb rzeczywistych.

  Czytaj opis

• Stożek

  Powierzchnia stożka zwęża się od kołowej podstawy do wierzchołka. Poziome przekroje mają coraz mniejszy promień. Zmieniaj promień podstawy i wysokość, aby porównać nachylenie boku.

  ms3d.stozek(r=3, wysokosc=6)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\max \left(\sqrt{x^2+y^2}-r\left(\frac{1}{2}-\frac{z}{h}\right),\left|z\right|-\frac{h}{2}\right)=0$$

  Parametry r i wysokość h są dodatnie. Podstawa leży na Z = -h/2, a wierzchołek na Z = h/2. Promień przekroju zależy liniowo od wysokości.

  Czytaj opis

• Stożek podwójny

  Dwie powierzchnie stożkowe stykają się wspólnym wierzchołkiem. Rozchodzą się w przeciwnych kierunkach i nie mają podstaw. Zwiększaj nachylenie, aby poszerzać ich rozwarcie.

  ms3d.stozek_podwojny(nachylenie=0.65)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\sqrt{x^2+y^2}=k\left|z\right|$$

  Dodatni parametr nachylenie oznaczono jako k. Stożek jest nieograniczony, ale podgląd pokazuje tylko fragment w obszarze obliczeń. Średnica przekroju rośnie proporcjonalnie do |Z|.

  Czytaj opis

• Stożek ścięty

  Powierzchnia ma dwie kołowe podstawy i bok łączący ich brzegi. Promień zmienia się równomiernie pomiędzy podstawami. Gdy oba promienie są równe, otrzymujemy walec.

  ms3d.stozek_sciety(r_dol=3, r_gora=1.5, wysokosc=6)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\max \left(\sqrt{x^2+y^2}-\left(r_d+\left(r_g-r_d\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{z}{h}\right)\right),\left|z\right|-\frac{h}{2}\right)=0$$

  Dodatnie r_dol i r_gora oznaczono jako r z indeksami d i g, a wysokość jako h > 0. Podstawy leżą na Z = ±h/2. Większy promień może należeć do dowolnej z podstaw.

  Czytaj opis

• Torus

  Torus jest powierzchnią pierścienia z otworem. Promień R określa rozmiar pierścienia, a r jego grubość. Porównuj proporcje, zachowując R większe od r.

  ms3d.torus(R=3, r=1)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\sqrt{{\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)}^2+z^2}-r=0$$

  Warunek biblioteki to R > r > 0, co daje torus pierścieniowy bez samoprzecięć. Osią symetrii jest Z. Równanie opisuje powierzchnię, a nie objętość pierścienia.

  Czytaj opis

• Walec

  Powierzchnia obejmuje bok walca i dwie kołowe podstawy. Przekroje prostopadłe do jego osi mają ten sam promień. Zmieniaj promień i wysokość, aby porównywać proporcje.

  ms3d.walec(r=3, wysokosc=6)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\max \left(\sqrt{x^2+y^2}-r,\left|z\right|-\frac{h}{2}\right)=0$$

  Oś to Z, a r i wysokość h są dodatnie. Podstawy leżą na Z = ±h/2. Wzór z maksimum łączy powierzchnię boczną z podstawami; nie oznacza wypełnienia wnętrza.

  Czytaj opis

• Walec eliptyczny

  Podstawy tej powierzchni są elipsami, a niekoniecznie kołami. Poziome przekroje zachowują te same wymiary. Zmieniaj a i b, aby porównać przekrój okrągły z wydłużonym.

  ms3d.walec_eliptyczny(a=3, b=2, wysokosc=6)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\max \left(\sqrt{{\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2}-1,\frac{2\left|z\right|}{h}-1\right)=0$$

  Dodatnie a i b są półosiami podstaw, a h = wysokosc > 0. Oś to Z, a powierzchnia obejmuje obie podstawy. Dla a = b otrzymujemy walec kołowy.

  Czytaj opis

Statystyka (11)

• Dominanty Obliczenia

  Dominanty to wartości występujące najczęściej. Może być ich kilka, jeśli dzielą największą liczebność. Zmieniaj powtórzenia, aby zobaczyć zmianę wyniku.

  msstat.dominanty(dane)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$c\left(v\right)=\#\{i:x_i=v\}$$

  Wynik jest rosnącą listą dominant, a c(v) oznacza liczbę wystąpień v. Biblioteka przyjmuje szczególną konwencję: gdy co najmniej dwie różne wartości występują wszystkie jednakowo często, zwraca pustą listę. Dla jednej różnej wartości zwraca tę wartość w liście.

  Czytaj opis

• Gęstość rozkładu normalnego Wizualizacja

  Krzywa gęstości rozkładu normalnego jest symetryczna i ma maksimum w średniej. Większe odchylenie standardowe poszerza krzywą i obniża jej szczyt. Porównaj różne szerokości, zachowując ten sam środek.

  msstat.gestosc_normalna(mu=0, sigma=1)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$f\left(x\right)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

  Parametry μ = mu i σ = sigma to średnia oraz dodatnie odchylenie standardowe; dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Pole pod całą krzywą wynosi 1, a prawdopodobieństwu przedziału odpowiada pole nad tym przedziałem, nie wysokość w punkcie. Funkcja zwraca gęstość do rysuj().

  Czytaj opis

• Histogram Wizualizacja

  Histogram grupuje liczby w przedziały i pokazuje, ile danych trafiło do każdego z nich. Zmiana liczby przedziałów zmienia obraz tego samego zbioru. Porównaj szerokie i wąskie przedziały, nie zmieniając danych.

  msstat.histogram(dane, przedzialy=10)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$h=\frac{x_{\text{max}}-x_{\text{min}}}{k}$$

  Funkcja przygotowuje liczebności do rysuj_stat(); k to parametr przedzialy. Przedziały mają równą szerokość h, obejmują lewy koniec, a ostatni także prawy. Gdy wszystkie dane są jednakowe, biblioteka tworzy jeden rozszerzony przedział. Słupki pokazują liczebności, nie gęstość.

  Czytaj opis

• Kwartyle Obliczenia

  Kwartyle opisują położenie dolnej części, środka i górnej części uporządkowanych danych. Różnica między trzecim i pierwszym kwartylem opisuje szerokość środkowej części zbioru. Porównaj ją z rozstępem całych danych.

  msstat.kwartyle(dane)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$Q_1=\mathrm{med}\left(\text{dolna połowa}\right),Q_2=\mathrm{med}\left(\text{całość}\right),Q_3=\mathrm{med}\left(\text{górna połowa}\right)$$

  Q2 jest medianą całości; Q1 i Q3 są medianami połówek po pominięciu mediany całości przy nieparzystym n. To konkretna konwencja biblioteki, a inne programy mogą liczyć kwartyle inaczej. Dla jednej obserwacji wszystkie kwartyle są równe, a dla dwóch wynik to minimum, średnia i maksimum.

  Czytaj opis

• Liczebności Obliczenia

  Liczebność mówi, ile razy wystąpiła konkretna wartość. Suma wszystkich liczebności jest równa liczbie danych. Zmieniaj powtórzenia i porównuj udział poszczególnych wartości.

  msstat.liczebnosci(dane)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$c\left(v\right)=\#\{i:x_i=v\}$$

  Wynikiem jest rosnąca lista par (wartość, liczebność). Dane są niepuste i muszą być skończonymi liczbami rzeczywistymi, bez wartości logicznych. Symbol # oznacza liczbę elementów zbioru indeksów.

  Czytaj opis

• Mediana Obliczenia

  Mediana dzieli uporządkowane dane na dolną i górną część. Jest mniej wrażliwa na skrajne wartości niż średnia. Porównaj oba wyniki po zmianie największej liczby w zbiorze.

  msstat.mediana(dane)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\mathrm{Me}=\{\begin{array}{cc}{x}_{\left(k+1\right)}& n=2k+1\\ \frac{x_{\left(k\right)}+x_{\left(k+1\right)}}{2}& n=2k\end{array}$$

  Dane są niepuste; poniżej x z indeksem w nawiasie oznacza pozycję po uporządkowaniu rosnąco. Przy parzystej liczbie danych brana jest średnia dwóch środkowych. Biblioteka nie zmienia danych wejściowych.

  Czytaj opis

• Odchylenie standardowe Obliczenia

  Odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu wyrażoną w tych samych jednostkach co dane. Wynosi zero dla jednakowych wartości. Porównaj zbiory skupione blisko średniej i mocno rozproszone.

  msstat.odchylenie_standardowe(dane, proba=False)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$s=\sqrt{V}$$

  Jest to pierwiastek z wariancji V. Parametr proba wybiera ten sam mianownik co przy wariancji: n dla populacji lub n-1 dla próby, która wymaga n ≥ 2. Dane muszą być niepuste.

  Czytaj opis

• Rozstęp Obliczenia

  Rozstęp jest różnicą między największą i najmniejszą wartością. Nie uwzględnia rozmieszczenia pozostałych danych. Porównaj zbiory o tych samych skrajnych wartościach, ale innym środku.

  msstat.rozstep(dane)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$R=\max \left(x_i\right)-\min \left(x_i\right)$$

  Dane muszą być niepuste. Rozstęp jest nieujemny i wynosi zero wtedy, gdy wszystkie wartości są jednakowe. Pojedyncza skrajna obserwacja może go znacznie zwiększyć.

  Czytaj opis

• Średnia arytmetyczna Obliczenia

  Średnia arytmetyczna opisuje poziom danych przez równy udział wszystkich wartości. Pojedyncza bardzo duża lub mała liczba może silnie przesunąć wynik. Dopisz wartość odstającą i porównaj średnią z medianą.

  msstat.srednia(dane)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$\mu =\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}$$

  Dane muszą tworzyć niepustą kolekcję skończonych liczb rzeczywistych, bez wartości logicznych. Symbol n oznacza liczbę obserwacji. Średnia może nie być żadną z wartości danych.

  Czytaj opis

• Wariancja Obliczenia

  Wariancja opisuje rozrzut danych wokół średniej, wykorzystując kwadraty odchyleń. Duże odchylenia mają przez to silny wpływ na wynik. Porównaj zbiory o tej samej średniej, ale różnym rozproszeniu.

  msstat.wariancja(dane, proba=False)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$V=\{\begin{array}{cc}\frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2}{n}& \text{proba = False}\\ \frac{\sum _{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2}{n-1}& \text{proba = True, n ≥ 2}\end{array}$$

  Symbol μ oznacza średnią z tych samych danych. Dla proba=False używany jest mianownik n, a dla proba=True mianownik n-1 i wymagane są co najmniej dwie obserwacje. Wynik ma jednostkę danych podniesioną do kwadratu.

  Czytaj opis

• Wykres słupkowy Wizualizacja

  Wykres słupkowy porównuje liczby wystąpień oddzielnych wartości. Wyższy słupek oznacza większą liczebność, a nie większą wartość na osi X. Zmieniaj powtórzenia danych i obserwuj wysokości słupków.

  msstat.slupki(dane)
  Wyjaśnienie matematyczne

  $$c\left(v\right)=\#\{i:x_i=v\}$$

  Funkcja przygotowuje dane do rysuj_stat(), a nie sam obraz. Wartości X są uporządkowane, a c(v) jest liczbą wystąpień. Wysokości nie są procentami ani gęstością.

  Czytaj opis